Définition
Définition :
Soit \((G_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) une famille de groupes
On définit la loi produit sur \(G_1\times\dots\times G_n\) : $$(x_1,\dots,x_n)(y_1,\dots,y_n)=(x_1y_1,\dots,x_ny_n)$$
Muni de cette loi, \(G_1\times\dots\times G_n\) est un groupe, dit groupe produit
Propriétés
Elément neutre
L'élément neutre du groupe produit est \((e_1,\dots,e_n)\)
Elément inverse
Pour le groupe produit, \((x_1,\dots,x_n)^{-1}=\) \((x^{-1}_1,\dots,x^{-1}_n)\)
Caractère abélien
Caractère abélien du groupe produit :
- \(G_1,\dots,G_n\) sont abéliens
$$\Huge\iff$$
- le groupe produit \(G_1\times\dots\times G_n\) est abélien
Morphismes associés
Projection canoniqueInjection canonique
Cardinal
Proposition : $$\
{{( G_1\times G_2)}}={{\# G_1\times\# G_2}}$$
Exemples
Groupe de Klein
